さて、今回のテーマは「極座標変換で積分計算をする方法」です。 ヤコビアンについては前回勉強をしましたね。ここでは、実際の計算例をみて勉強を進めてみましょう。重積分 iint_D 2dxdyを求めよ。 まずは、この直交座標表示を極座標表示に変えると、 x=rcosθ,y=rsinθ を適応させることになる。 ここで積分領域 が円なので極座標に置きたくなるが、極座標にしてしまうと の部分が計算しにくくなるので今回は極座標には変換しない。 [2重積分ができる形に積分範囲を置き換え] ここで、\[y^2 \leqq a^2 - x^2 \]である。さらに より、\[0 \leqq y \leqq \sqrt{a^2 - x^2} によってuv平面の集合 がxy平面の集合 に1対1に移るとすれば . 6 演習問題 問1. 数学・算数 - 2重積分について質問です。 ∬D (x^2+y^2)dxdy (D：(x/a)^2+(y/b)^2≦1) と与えられた場合に、極座標に変換して求めようと思うのですが、 x/a=r 重積分を用いると、空間中の曲面積や体積を求めることができます。具体的な計算例として、楕円体の体積の公式を導出します。空間積分では、ある面における切り口を積分することになります。 例題11.1の解法を真似て，次の3重積分を計算せよ． V z2 dxdydz V = f(x;y;z) j x2 +y2 ≦ z; 0 ≦ z≦ 2 g (ヒント：zを固定したとき，x;yについての2重積分は円の面積として値が求められる) 問2.
今回は2変数関数の変換を用いた積分のうち、とくに重要な極座標変換を用いて2重積分の値を求める方法を例題や練習問題などを踏まえてわかりやすく説明しています。また、領域が円ではなく楕円だった場合の変数変換についてもまとめました。
CA07w-ex2r 2 3）積分値をI とする。極座標に変換して I = Za 0 Z2ˇ 0 p a2 r2rdrd Za 0 p a2 r2r Z2ˇ 0 d dr = 2ˇ Za 0 p a2 r2rdr 2ˇ 3 h 2 a r2 3=2 ia 0 = 2 3 ˇa3 [別解]そのまま累次積分して求めることもできる。 積分の順序を変更して，はじめに y を固定して，それぞれの y に対して， x で積分するときは，図のように積分区間の左端が y ，右端が 1 になる． (1) 赤の横線で示した線に沿って， y≦x≦1 の区間で変数 x で積分して得られる式は . 関連問題次の重積分を累次積分に変換して計算せよ.
積分変数を独立した（直交する座標）変数(r, θ, φ）に変換して、変換後の3重積分を独立した直交座標変数による逐次積分（累次積分）に持ち込むためでしょう。 この場合、積分領域Dは [個別の頁からの質問に対する回答][重積分:変数変換.ヤコビアンについて／17.7.20] 途中式も丁寧に挟まれており、旧変数←新変数の形など、単純に見えるが案外間違えていたり抜けてしまう過程などが明記されているので、最後まで立ち止まる事なく理解に徹することが出来ました。
★重積分の順序変更を学習する. 重積分の計算では次の2つの手法が大事です： (1) 積分の順序変更(今回やる)(2)積分の変数変換(次回やる) 積分の順序変更 2重積分の変数変換 . ただし，右辺の は(1)を代入してu,v,wの関数としたものである．; 座標変換の関数行列式 積分変数を独立した（直交する座標）変数(r, θ, φ）に変換して、変換後の3重積分を独立した直交座標変数による逐次積分（累次積分）に持ち込むためでしょう。 この場合、積分領域Dは V = f(x;y;z) j x2 +y2 +z2 ≦ a2g (a>0) のとき，次の3重積分の値を求めよ． (1) ∫∫∫ V (x2 +y2 +z2)dxdydz
重積分を変数変換を用いて求める問題なのですが、領域の変換ができず悩んでます。 x=a･r･cosθ y=b･r･sinθ （aとbは定数で正） ∬D(x^2+y^2)dxdy D:x^2/a^2+y^2/b^2≦1 上の領域Dをrとθの領域で表せる方、もしよろしければ回答お願いします。 ただし, Dの形状を図示し, どのよ うに累次積分に変換したかを明示せよ. 関連問題上の問題1(3)において2通りの累次積分を比較することによって, ∫∞ 0 e−αx −e−βx x dx= log β α, α,β>0, を導け. (1) ∫∫ D
今後の予定 • 1/19：重積分の計算(2) • 1/26：期末試験 演習の目標 重積分の計算に習熟しましょう. 10.2 積分変数の変換 この小節では2変数関数の変数変換による積分公式を示すことである。st平面内の領域Eからxy平 面の領域Dへの写像をx= ϕ(s;t); y= (s;t)とする。 3 =)
3重責分の変数変換. 重積分における変数変換. 変数-(1),がuvw空間集合 をxyz空間の集合 に移せば .